Calcul approximatif de la : teta prime w

[alpes05]

Quelqu'un a t'il dans ses tablettes, une formule très approximative du calcul de la TETA PRIME W

en fonction de la température et de l'humidité relative ? (pour les assez basses couche de l'atmosphère )

Merci d'avance

[pinthotal]

Quelqu'un a t'il dans ses tablettes, une formule très approximative du calcul de la TETA PRIME W

en fonction de la température et de l'humidité relative ? (pour les assez basses couche de l'atmosphère )

Merci d'avance

Bien évidemment tu auras besoin de la pression aussi (ou alors tu n'as pas lu la définition de la teta prime w, mais j'imagine que ça n'est pas le cas !). Ya en effet des formules de passage qui donnent de très bonnes approximations, je vais essayer de te trouver ça dans mes archives.

[Invité Guest]

Bonsoir j'ais trouvé ça /emoticons/smile@2x.png 2x" width="20" height="20"> je sais pas ci ca t intéresse ici

[Damien49]

Quelqu'un a t'il dans ses tablettes, une formule très approximative du calcul de la TETA PRIME W

en fonction de la température et de l'humidité relative ? (pour les assez basses couche de l'atmosphère )

Merci d'avance

J'espère que t'aimes les maths ^^

/index.php?showtopic=22238'>http://forums.infoclimat.fr/index.php?showtopic=22238

[Cirus]

J'espère que t'aimes les maths ^^

/index.php?showtopic=22238'>http://forums.infoclimat.fr/index.php?showtopic=22238

Pour que ce soit un peu moins compliquer, voici comment je procède pour calculer le T'w:

On sait qu'on perd environ 4-5% d'humidité relative tous les 100m.

Ex: Admettons qu'un observateur observe 80% d'humidité relative.

(100-80)/4= 5 -> 500m

Ce qui veut dire que le niveau de condensation se trouve a environ 500m au-dessus de l'observateur.

Après cela, imaginons qu'on va suivre une adiabatique sèche jusqu'à ce niveau de condensation.

500m -> perte de 5°c

Puis, on va suivre une adiabatique humide du niveau de condensation au niveau où se trouve l'observateur.

500m -> augmentation de 2,5°c

Donc

5-2,5=2,5

Par la suite, on soustrait la température de l'air ambiant par 2,5

[Cotissois 31]

Pour que ce soit un peu moins compliquer, voici comment je procède pour calculer le T'w:

On sait qu'on perd environ 4-5% d'humidité relative tous les 100m.

Ex: Admettons qu'un observateur observe 80% d'humidité relative.

(100-80)/4= 5 -> 500m

Ce qui veut dire que le niveau de condensation se trouve a environ 500m au-dessus de l'observateur.

Après cela, imaginons qu'on va suivre une adiabatique sèche jusqu'à ce niveau de condensation.

500m -> perte de 5°c

Puis, on va suivre une adiabatique humide du niveau de condensation au niveau où se trouve l'observateur.

500m -> augmentation de 2,5°c

Donc

5-2,5=2,5

Par la suite, on soustrait la température de l'air ambiant par 2,5

Oui, c'est une méthode approximative acceptable. La réalité est plus compliquée car les gradients adiabatiques secs ou humides ne sont pas constants avec l'altitude.

Par contre, je suppose que tu voulais dire "On sait qu'on gagne environ 4-5% d'humidité relative tous les 100m (vers le haut)." Notons que ceci n'est vrai que dans la couche limite (1 km), qui a la particularité d'uniformiser le rapport de mélange (quantité de vapeur d'eau) et la température potentielle (expliquant la perte de 1°C par 100m) permettant d'appliquer des règles anormalement simples.

[Cirus]

Oui, c'est une méthode approximative acceptable. La réalité est plus compliquée car les gradients adiabatiques secs ou humides ne sont pas constants avec l'altitude.

Par contre, je suppose que tu voulais dire "On sait qu'on gagne environ 4-5% d'humidité relative tous les 100m (vers le haut)." Notons que ceci n'est vrai que dans la couche limite (1 km), qui a la particularité d'uniformiser le rapport de mélange (quantité de vapeur d'eau) et la température potentielle (expliquant la perte de 1°C par 100m) permettant d'appliquer des règles anormalement simples.

Oui, quelques précisions dont j'ai oublié d'écrire.

Autrement, je voulais plutôt dire "on sait qu'on gagne 4-5% d'HR tous les 100m".

Merci de m'avoir corigé.

[Météofun]

Salut à vous …

J’ai enfin pris un peu de temps pour répondre de façon un peu complète sur cette question. En effet, ce sujet revient assez souvent. Le but est donc de fournir ici un post assez complet qui puisse servir de base pour gérer ce genre de calcul. Il ne développe pas trop les étapes et les justifications des calculs et n’est absolument pas exhaustif, pour cela il faut aller chercher dans la littérature spécialisée sur le sujet ou des cours disponibles sur le net. Néanmoins, ce qui suit est peut-être un peu technique, mais c’est nécessaire pour être rigoureux.

En ce qui concerne le sujet, pour la theta’w je connais une formule de passage à partir de la thetaE.

Dans le vieux sujet déterré par Damien (/index.php?showtopic=22238'>http://forums.infoclimat.fr/index.php?showtopic=22238 ) il est écrit :

Thêta’w = ThêtaE - wL/cp

Avec : L la chaleur latente de vaporisation, C_p la chaleur spécifique de l’air sec et w le rapport de mélange

C’est une formule assez approximative, mais qui est visiblement utilisé si on en croit cette page :

http://wdtb.noaa.gov/courses/dloc/svrparams/svrparams.htm (paragraphe 12)

Par contre un peu de raisonnement physique montre qu’on atteint vite ses limites, notamment à mesure que le niveau de condensation s’élève et que la température augmente … En fait cette formule n’est exacte que si la parcelle d’air étudié est saturée (dans ce cas, w = w_s avec w_s le rapport de mélange saturant).

L’idéal est de revenir à la définition exacte de la thêtaE, à savoir que la thêtaE c’est la thêta’w pour laquelle on a transformé toute la chaleur latente qu’elle contient en chaleur sensible.

On peut donc la réécrire comme précédemment : ThêtaE = Thêta’w +( w_{s(Thêta’w)}*L/C_p) mais cette fois-ci le w_{s(Thêta’w)} est le rapport de mélange à la température thêta’w au niveau 1000 hPa. Et là ; on n’a pas du tout résolu notre problème …

Il faut revenir à la définition de w : w_{s(Thêta’w)}=0.622*(e_{s(Thêta’w)}/(P-e_{s(Thêta’w)})). Dans notre cas, w_{s(Thêta’w)} est le rapport de mélange saturant à la température thêta’w, e_{s(Thêta’w)} est la pression partielle saturante de vapeur d’eau à la température Thêta’w et P la pression du milieu, pour nous 1000 hPa, vue qu’on travail sur des températures potentielles.

On le réinjecte dans notre expression :

ThêtaE = Thêta’w + ((0.622*e_{s(thêta’w)}*L)/(C_p*(P-e_{s(thêta’w)}))) avec P = 1000 hPa = 10^5 Pa

Et le e_s peut être trouvé par des formules empiriques. Il y a par exemple la formule de Tetens qui est fréquemment utilisé (et très correcte), mais il en existe d’autres qui sont parfois encore plus fine :

e_s = 6.107*10^((7.5*T)/(237.3+T)) avec es la pression partielle de vapeur d’eau saturante en hPa (et non en Pa, attention !) en fonction de la température T en °C (et non en Kelvin, attention !).

Il faut noter que comme e (donc e_s) est souvent très petit devant P, on assimile souvent : P-e = P, d’où :

ThêtaE = Thêta’w + ((0.622*e_{s(thêta’w)}*L)/(C_p*1000)) avec es la pression partielle saturante de vapeur d’eau à la température Thêta’w en hPa.

Tout ceci est expliqué sur cette page par exemple :

http://docs.lib.noaa.gov/rescue/mwr/068/mwr-068-09-0243.pdf

Ensuite, il faut trouver une formule pour la ThêtaE …

La formule exacte est :

ThêtaE = T*(1000/P)^(R_a/(C_p+w*C_l))*H^((-w*R_v)/(C_p+w*C_l))*exp((L*w)/((C_p+w*C_l)*T))

Avec : Variables : P= pression du niveau considéré en hPa ; w = rapport de mélange de la parcelle d’air considéré en kg/kg ; H = l’humidité relative de la parcelle d’air considéré (valeur non mise en pourcentage, donc toujours inférieure à 1) ; et T la température de la parcelle d’air considéré en K.

Avec en paramètres : C_p = 1005.7 J/kg/K ; C_l = 4190 J/kg/K ; R_a = 287 J/kg/K R_v = 461.5 J/kg/K ; et L que l’on peut approximer comme une constante qui vaut environ 2.5*10^6 J/kg (sinon il existe des formules qui la rende dépendante de la température, mais en première approche ça ne change pas grand chose …).

Cette formule est un peu complexe et pour le cas saturée une bonne approximation existe avec :

ThêtaE = T*(1000/P)^(R_a/C_p)*exp((L*w_s)/(C_p*T))

Avec w_s le rapport de mélange saturant en kg/kg (noter que comme on est dans le cas saturé on a w = w_s), sinon c’est comme précédemment.

Sinon il existe d’autres formulations approchées valable sans la restriction au cas saturée disponibles à droite et à gauche avec une justesse plus ou moins grande …

Et là on se rappel de la formule vue plus haut (je la rappel ici, mais il faut s’y référer pour l’utilisation des unités) : w_s=0.622*(e_s/(P-e_s)) et on peut éventuellement utilisé la formule de Tetens (ou une autre) pour trouver e_s.

Le souci, c’est qu’avec la formule donnée précédemment, on passe facilement de la Thêta’w à la ThêtaE, mais elle est impossible à inversée.

Donc, j’ai fait un « fittage » numérique sous la forme d’un polynôme de degré 4 pour passer de la Thêta’w à la ThêtaE et inversement :

ThêtaE = 1.1584710*10^-5*Thêta’w^4+ 3.8104687*10^-4*Thêta’w^3+ 1.9349565*10^-2*Thêta’w^2+ 1.7178470*Thêta’w + 9.7616993

Thêta’w = -3.2711523*10^-8*ThêtaE^4+ 1.9731116*10^-5*ThêtaE^3- 4.7395223*10^-3* ThêtaE ^2+ 6.7279679*10^-1* ThêtaE – 6.1115136

Voilà en espérant que ça puisse servir à l’avenir … S’il manque des trucs ou qu’il y a des choses qui tournent pas rond (ça va vite d’oublier un terme, de faire une faute de frappe, ou que sais-je encore et de rendre le résultat totalement faux) n’hésitez pas !

[Crack]

Salut !

Merci beaucoup Christophe pour cet énorme récapitulatif !

Je suis en train de travailler sur la ThêtaE et la Thêta'w. Je veux construire les champs des deux variables sur la période 1957-2002 avec les réanalyses ERA-40. Je suis en train de balayer pas mal de possibilités, et j'avoue que la formule la plus simple à mettre en oeuvre est bien celle-ci :

ThêtaE = T*(1000/P)^(Ra/Cp)*exp((L*ws)/(Cp*T))

J'ai utilisé la formule de Tetens pour calculer e_s puis w_s.

Du coup, je me retrouve avec une formule de la ThetaE qui ne tient compte que de la température T et de la pression P :

ThêtaE = T*(1000/P)^(Ra/Cp)*exp[(L*(0,622*e_s/(P-e_s)/(Cp*T)]

avec e_s = 6,1070*10^(7,5*T/(237,3+T))

Or je pensais que la ThêtaE pouvait dépendre de l'humidité relative (RH) au niveau de pression P (Thom34 m'avait transmis la formule utilisée pour la ThêtaE sur meteociel et il s'avère que celle-ci utilise la T, la P et la RH).

Christophe peux-tu m'indiquer si c'est normal ?

[Météofun]

Salut Aurelien !

C’est peut-être la formule la plus simple à mettre en œuvre celle que tu indique, mais tu mets bien le doigt sur son problème : elle n’est valable que pour l’atmosphère saturée donc avec une humidité relative (H, dans ma notation précédente) de 1. Mais c’est vrai que je ne le dit que succinctement dans mon post.

Si tu reprends la formule exacte que j’ai donné dans le paragraphe au-dessus de celle-là ça correspond très bien à ça avec un H qui vaut 1, on annule le H avec toute sa puissance puisque le résultat vaut 1 quelque soit le contenu de cette puissance. Et ensuite, pour retrouver ta formule, on néglige (généralement tout à fait justifié) le (w*Cl) devant le Cp. Et là on retombe parfaitement sur la formule que tu donnes … mais pour une atmosphère saturée. Tu ne peux donc pas l’employer dans ton cas !

Et ça ne te va pas la formule générale en négligeant le (w*Cl) devant le Cp ? C’est-à-dire :

ThêtaE = T*(1000/P)^(Ra/Cp)*H^((-w*Rv)/Cp)*exp((L*w)/(Cp*T))

[Crack]

Salut Aurelien !

C’est peut-être la formule la plus simple à mettre en œuvre celle que tu indique, mais tu mets bien le doigt sur son problème : elle n’est valable que pour l’atmosphère saturée donc avec une humidité relative (H, dans ma notation précédente) de 1. Mais c’est vrai que je ne le dit que succinctement dans mon post.

Si tu reprends la formule exacte que j’ai donné dans le paragraphe au-dessus de celle-là ça correspond très bien à ça avec un H qui vaut 1, on annule le H avec toute sa puissance puisque le résultat vaut 1 quelque soit le contenu de cette puissance. Et ensuite, pour retrouver ta formule, on néglige (généralement tout à fait justifié) le (w*Cl) devant le Cp. Et là on retombe parfaitement sur la formule que tu donnes … mais pour une atmosphère saturée. Tu ne peux donc pas l’employer dans ton cas !

Et ça ne te va pas la formule générale en négligeant le (w*Cl) devant le Cp ? C’est-à-dire :

ThêtaE = T*(1000/P)^(Ra/Cp)*H^((-w*Rv)/Cp)*exp((L*w)/(Cp*T))

Ah oui effectivement, il faut dire que je fais plein de choses en même temps (pour mon travail), et que du coup, je n'ai pas réfléchi à fond, poster sur ce forum était une solution de simplicité, c'est vrai, lol !

OK donc j'ai tout intérêt à utiliser la formule de base, même en ne négligeant pas le (w*C_l) devant le C_p. Je construis ça dans la journée et mettrai les cartes associées à une situation frontale type histoire de visualiser la différence entre les champs de TPE obtenus avec les différentes formules.

Encore merci pour ta réponse Christophe